Cho $\bigtriangleup ABC$ ngoại tiếp $(I; r)$. Trung tuyến $AM$, $MI$ cắt đường cao $AH$ tại $D$. Chứng minh $AD=r$

Gọi $E$ là tiếp điểm với $BC$ của $(I; r)$.

$AI \cap BC = \left\{P\right\}$

Lấy J là tâm đường tròn bàng tiếp $\widehat{A}$ của $\triangle ABC$. Gọi $E'$ là tiếp điểm với $BC$ của $(J)$.

$AE' \cap (I; r) =\left\{A'\right\}$ ($A'$ gần $A$ hơn) suy ra $IA'=r$

Ta có: $\left\{\begin{matrix} IE\perp BC \\ E'J \perp BC \end{matrix}\right. \Rightarrow IE//E'J$.

\begin{equation} \label{2eq:1} \tag{1} \Rightarrow \dfrac{IE}{E'J}=\dfrac{IP}{PJ}=\dfrac{IP}{IA}.\dfrac{IA}{AJ}.\dfrac{AJ}{JP} \text{ (định lý $Thales$)} \end{equation}

Áp dụng tính chất đường phân giác cho tam giác $ABP$ ta có:

\begin{eqnarray} \label{2eq:2} \tag{2} \dfrac{IP}{IA}=\dfrac{BP}{BA} \text{ (phân giác trong $BI$)} \\ \label{2eq:3} \tag{3} \dfrac{AJ}{JP}=\dfrac{AB}{BP} \text{ (phân giác ngoài $BJ$)}\end{eqnarray}

$$\eqref{2eq:1}, \eqref{2eq:2}, \eqref{2eq:3} \Rightarrow \dfrac{IE}{E'J}=\dfrac{IA}{AJ} \Rightarrow \dfrac{IA'}{E'J}=\dfrac{IA}{AJ} \text{ (vì $IA'=ID$)}$$

$$ \Rightarrow IA'//E'J \text{ (định lý $Thales$ đảo)}$$

Mà $\left\{\begin{matrix} AH\perp BC \\ E'J \perp BC \end{matrix}\right. \Rightarrow AH//E'J$.

Suy ra $IA' // AH$

\begin{equation} \label{2eq:0} \tag{4} \Rightarrow IA'//AD\end{equation}

Với lại cũng vì $IA'//IE//E'J$ nên $I$, $A'$, $E$ thẳng hàng (tiên đề $Euclide$)

Gọi các tiếp điểm của $(I; r)$ với $AB$, $CA$ là $G$, $F$, của $(J)$ là $X$, $Y$.

Xét $(I;r)$: $BG=BE$; $CE=CF$; $AF=AG$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

mà $BG+BE+CE+CF+AF+AG=AB+BC+CA=2p$

suy ra $2BE+2AC=2BE+2CF+2AF=2p \Rightarrow BE=p-b$

Xét $(J)$: $AX=AY$; $BE'=BX$; $CE'=CY$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

mà $2AY=AX+AY=AB+AC+BX+CY=AB+AC+BE'+CE'=AB+BC+CA=2p$

suy ra $2AC+2CE'=2AC+2CY=2AY=2p \Rightarrow CE'=p-b$

Từ đó ta suy ra $BE=CE'$ mà $M$ là trung điểm của $BC$ suy ra $M$ là trung điểm của $EE'$. Suy ra $MI$ là đường trung bình của tam giác $EE'A$ suy ra  $MI//E'A'$

\begin{equation} \label{2eq:4} \tag{5} \Rightarrow ID//AA' \end{equation}

$$\eqref{2eq:0}, \eqref{2eq:4} \Rightarrow ADIA' \text{ là hình bình hành}$$

Suy ra $AD= IA'=r \ _\square$