Cho tam giác $ABC$ không cân ở $A$, nội tiếp $(O)$, $(O_1)$ là đường tròn đi qua $B$, $C$ và cắt $AB$, $AC$ theo thứ tự tại $K$, $L$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AKL$ cắt $(O)$ tại $M$ khác $A$. Chứng minh $\widehat{AMO_1}=90^\circ$

Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AKL$.

Kẻ $Ax$ và $Ay$ là các tiếp tuyến của $(I)$ và $(O)$

Gọi ${N}=AO_1 \cap OI$, ${H}=AM \cap OI$.

Xét $(I)$ và $(O_1)$ có: $KL$ là dây cung chung, $O_{1}I$ là đường nối tâm nên $KL \perp O_{1}I$

Tứ giác $KLCB$ có 4 đỉnh nằm trên $(O_1)$ nên $KLCB$ là tứ giác nội tiếp

\begin{equation} \label{1eq:1} \tag{1} \Rightarrow \widehat{KBC}+\widehat{KLC}=180^{\circ} \Rightarrow \widehat{KBC}=\widehat{ALK} \end{equation}

Mặt khác $(O)$ có $\widehat{ABC}=\widehat{CAy}$ (góc nội tiếp và góc tiếp tuyến cùng chắn cung AC \begin{equation} \label{1eq:2} \tag{2} \Rightarrow \widehat{KBC}=\widehat{LAy} \end{equation}

$$\eqref{1eq:1}, \eqref{1eq:2} \Rightarrow \widehat{ALK}=\widehat{LAy} \Rightarrow KL // Ay \text{ (vị trí so le trong)} $$

$$\Rightarrow AO \perp KL$$

$$\left . \begin{matrix} KL\perp O_1I\\ AO \perp KL \end{matrix} \right \}\Rightarrow AO // O_1I$$

Tương tự ta chứng minh được $\left . \begin{matrix} BC\perp O_1O\\ \left . \begin{matrix} AI \perp Ax \\ BC // Ax \end{matrix} \right \} \Rightarrow AI \perp BC \end{matrix} \right \}\Rightarrow AI // O_1O$

Suy ra $AIO_1O$ là hình bình hành vì có 2 cặp cạnh đối song song.

Suy ra $N$ là trung điểm của $AO_1$ hay $NA=NO_1$

mặt khác xét $(O)$ và $(I)$ ta có được $OI$ là đường trung trực của $AM$ (tính chất đường nối tâm và dây cung chung), $N \in OI \Rightarrow NA=NM$

Nên ta có $MN=\dfrac{AO_1}{2}$

$\triangle AMO_1$ có $MN=\dfrac{AO_1}{2}$ nên $\widehat{AMO_1}=90^\circ$ $_{\square }$

Bài toán có ở topic sau: http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?/topic/121600-ch%E1%BB%A9ng-minh-g%C3%B3c-amo-1-vu%C3%B4ng/